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Estadística descriptiva
Analiza conjuntos de datos unidimensionales y bidimensionales: frecuencias, medidas de posición y dispersión, histograma, box-plot, covarianza, regresión y correlación.
Datos (valores)
Separa con comas, espacios o saltos de línea. Admite decimales con punto o coma.
Opciones
N
Media x̄
Mediana Me
Moda Mo
Rango
Varianza σ²
Desv. σ
CV
Q1
Q2 = Me
Q3
IQR
Min
Max
Asimetría g₁
Curtosis g₂
| Marca xi | fi | Fi | hi | Hi | |
|---|---|---|---|---|---|
Bigotes en Q1 − 1.5·IQR y Q3 + 1.5·IQR. Los puntos fuera son atípicos (outliers).
Pares (x, y)
Cada par separado por ";" o salto de línea. Dentro del par usa coma o tab entre x e y.
Predicción
ŷ estimado (recta y|x)
Fiabilidad ~ |r| =
N pares
x̄
ȳ
σx
σy
Covarianza σxy
Correl. r
r² (determ.)
Pend. a (y|x)
Ord. b (y|x)
Recta de regresión y|x
Medidas de centralización
Resumen de los datos en un Único valor "central". Cada una capta algo distinto:
Media aritmética
Sensible a valores atípicos. Punto de equilibrio físico.
Mediana $\mathrm{Me}$
Valor central tras ordenar. Robusta frente a atípicos.
Moda $\mathrm{Mo}$
Valor más frecuente. Puede no ser Única.
Relación de Pearson (distribuciones unimodales): $\;\bar{x} - \mathrm{Mo} \approx 3(\bar{x} - \mathrm{Me})$.
Medidas de posición
Dividen la muestra ordenada en partes iguales:
Cuartiles
$Q_1, Q_2, Q_3$ dividen la muestra en 4 partes con $25\%$ de los datos cada una. $Q_2 = \mathrm{Me}$.
Percentil $P_k$
Deja por debajo el $k\%$ de las observaciones.
Recorrido intercuartílico
Atípicos (regla de Tukey): valores fuera de $\;[Q_1 - 1{,}5\,\mathrm{IQR},\; Q_3 + 1{,}5\,\mathrm{IQR}]$. Más allá de $\pm 3\,\mathrm{IQR}$ son extremos.
Medidas de dispersión
Cuantifican cuánto se separan los datos del centro:
Varianza $\sigma^{2}$
Fórmula simplificada (König)
En la práctica esta fórmula es más rápida: basta una columna $x_i^{2}f_i$ en la tabla.
Promedio de las desviaciones al cuadrado. Unidad: las de los datos al cuadrado.
Desviación típica $\sigma$
Misma unidad que los datos. Aprox. el $68\%$ de las observaciones cae en $\bar x \pm \sigma$ si la distribución es normal.
Coef. de variación
Adimensional. $\mathrm{CV} < 0{,}3$ ⇒ poca dispersión relativa.
Recorrido
Sencillo pero muy sensible a atípicos.
Cuasivarianza (muestral, $n-1$): $\;s^2 = \dfrac{\sum (x_i-\bar x)^2}{n-1}$. Se usa al inferir parámetros poblacionales.
Medidas de forma
Asimetría (Fisher)
- $g_1 > 0$: cola a la derecha (sesgo positivo).
- $g_1 = 0$: simétrica.
- $g_1 < 0$: cola a la izquierda.
Curtosis (exceso)
- $g_2 > 0$: leptocúrtica (picuda, colas pesadas).
- $g_2 = 0$: mesocúrtica (como la normal).
- $g_2 < 0$: platicúrtica (aplastada).
Estadística bidimensional
Estudia la relación entre dos variables $(X,Y)$:
Covarianza
Mide la variación conjunta. Su signo indica el sentido de la relación.
Coeficiente de correlación
Adimensional. Mide la fuerza lineal de la relación.
Recta de regresión $y$ sobre $x$
Para predecir $y$ a partir de $x$. Su pendiente es $b_{y|x}=\sigma_{xy}/\sigma_x^2$.
Recta de regresión $x$ sobre $y$
Para predecir $x$ a partir de $y$. Ambas se cortan en el centroide $(\bar x, \bar y)$.
Coeficiente de determinación
Proporción de varianza de $Y$ explicada por la regresión sobre $X$ (entre $0$ y $1$).
Interpretación práctica de $r$
| $|r|$ | Correlación | ¿Predicciones fiables? |
|---|---|---|
| $|r| \geq 0{,}8$ | Fuerte | Sí |
| $0{,}5 \leq |r| < 0{,}8$ | Moderada | Aceptable |
| $0{,}2 \leq |r| < 0{,}5$ | Débil | Poco fiables |
| $|r| < 0{,}2$ | Casi nula | No |
- El signo de $r$ coincide con el de la pendiente $b_{y|x}$.
- $r = 0$ no implica independencia: puede haber relación no lineal (p. ej. parabólica).
- Correlación $\neq$ causalidad: una $r$ alta sólo indica asociación.
Combinatoria
Selecciona las condiciones del problema y obtén automáticamente la fórmula y resultado correctos.
¿El orden importa?
¿Cambia el resultado si cambia el orden de los elementos?
¿Se permite repetición?
¿Un mismo elemento puede aparecer más de una vez en la selección?
Ver todas las fórmulas
n!
V(n,r)
n!/(n-r)!
VR(n,r)
nʳ
C(n,r)
n!/(r!(n-r)!)
CR(n,r)
C(n+r-1,r)
Teoría · Combinatoria
Principios fundamentales
- Regla del producto: si una decisión tiene $a$ posibilidades y otra independiente $b$, hay $\;a\cdot b\;$ resultados conjuntos.
- Regla de la suma: si dos sucesos son excluyentes, el total es $\;a + b$.
- Factorial: $\displaystyle n! = n\cdot(n-1)\cdots 2\cdot 1, \quad 0! = 1$.
Variaciones sin repetición $V_{n,r}$
Orden importa, sin repetir. Tomar $r$ de $n$:
Ej.: podios (oro/plata/bronce) entre $n$ atletas $\Rightarrow V_{n,3}$.
Variaciones con repetición $VR_{n,r}$
Orden importa, se puede repetir:
Ej.: matrículas con $r$ posiciones y $n$ símbolos.
Combinaciones sin repetición $C_{n,r}$
Orden no importa, sin repetir:
Ej.: comités de $r$ personas elegidas de $n$.
Combinaciones con repetición $CR_{n,r}$
Orden no importa, se puede repetir:
Ej.: repartir $r$ caramelos iguales entre $n$ niños.
Permutaciones
- Sin repetición (ordenar todos): $\;P_n = n!$
- Con repetición (objetos repetidos por grupos $a, b, c, \ldots$): $\;PR_n^{a,b,c\ldots} = \dfrac{n!}{a!\,b!\,c!\cdots}$
- Circulares (rotaciones equivalentes): $\;PC_n = (n-1)!$
Cómo elegir la fórmula
- ¿Importa el orden? → si sí → Variaciones / Permutaciones; si no → Combinaciones.
- ¿Se permite repetir elementos? → ramas «con repetición» o «sin repetición».
- ¿Tomas todos ($r=n$) o sólo algunos ($r<n$)?
Distribuciones de probabilidad
Caso a calcular
P(X < a)
P(X > a)
P(X < b)
P(X > b)
P(a < X < b)
P(X < a ∪ X > b)
Colas combinadas
Interpretación paso a paso
1️⃣ Tipificación — pasar a
2️⃣ Cálculo con la tabla
3️⃣ Interpretación
Resultado
≈ de cada 1 000 observaciones
Probabilidad
Regla empírica 68 · 95 · 99.7
Qué porcentaje de datos cae a k desviaciones típicas de la media
Regla empírica 68 · 95 · 99.7
Qué porcentaje de datos cae a k desviaciones típicas de la media
≈ 2/3 de los datos. En tu N: [, ]
Solo ~1 de 20 cae fuera. En tu N: [, ]
Solo ~3 de 1000 fuera. En tu N: [, ]
💡 Truco de examen
Si te piden la probabilidad y los valores cuadran con μ±σ, μ±2σ o μ±3σ, puedes responder directamente sin tabla. Usa esta regla para detectar control de calidad 6σ, intervalos de confianza rápidos o identificar outliers (> 3σ).
Selector interactivo · N(0,1)
Propiedades clave de la tabla Z:
• — densidad de
• · (simetría) ·
• ·
• La integral no tiene primitiva elemental — se aproxima numéricamente.
¿Qué es y cómo se calcula?
- Se fija y se divide en tramos iguales de anchura
- Simpson:
- Con , el error es menor que
🔄 Probabilidad inversa: dado P → encontrar z y x
Si conoces la probabilidad acumulada y quieres el valor z (o x) correspondiente.
z = Φ⁻¹(P)
x = μ + z·σ
Casos habituales:
μ = np
σ² = npq
P(X = k)
P(X ≤ k)
P(X ≥ k)
| k | P(X=k) | P(X≤k) | P(X≥k) | Barra |
|---|
Teoría · Distribuciones Normal y Binomial
Distribución normal $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma)$
Función de densidad:
- Simétrica respecto a $\mu$, con dos puntos de inflexión en $\mu \pm \sigma$.
- Tipificación: $\;Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$.
- Probabilidad acumulada: $\;P(X\leq x) = \Phi\!\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)$.
- Regla 68–95–99,7: $\;P(|X-\mu|\leq k\sigma)$ vale aprox. $0{,}68;\,0{,}95;\,0{,}997$ para $k=1,2,3$.
Distribución binomial $X \sim B(n,p)$
Cuenta Éxitos en $n$ ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad $p$ de Éxito ($q = 1-p$):
Media
$$\mu = n\,p$$
Varianza
$$\sigma^{2} = n\,p\,q$$
Desv. típica
$$\sigma = \sqrt{n p q}$$
Bernoulli: caso $n=1$, $X\in\{0,1\}$, con $\mu = p$, $\sigma^{2}=p\,q$.
Aproximaciones Útiles
- Binomial → Normal (Moivre–Laplace) si $\;np \geq 5$ y $\;nq \geq 5$: $\;X \approx \mathcal{N}\!\left(np,\sqrt{npq}\right)$. Aplicar corrección de Yates al pasar de discreto a continuo.
- Binomial → Poisson si $\;n$ grande y $\;p$ pequeño con $\lambda = np$ moderado: $\;P(X=k)\approx e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^{k}}{k!}$.
Aproximación Binomial → Normal · de Moivre–Laplace
Visualiza simultáneamente la binomial real B(n,p), la normal aproximada N(np, √npq) y la corrección de continuidad de Yates. Compara los resultados y entiende cuándo y por qué funciona.
μ = np
σ = √(npq)
Caso a calcular
Exacto · Binomial
Aprox. Normal SIN Yates
Error abs:
Aprox. Normal CON Yates
Error abs:
// Tipificación Z = (X − μ) / σ · μ = , σ =
n·p =
Debe cumplir n·p ≥ 5
n·q =
Debe cumplir n·q ≥ 5
Aproximación
Mejor cuanto más cerca de p = 0.5 y mayor n.
Teoría · Teorema de De Moivre–Laplace y corrección de Yates
Teorema de De Moivre–Laplace (1733/1812)
Si X ~ B(n, p) y n → ∞ con p fijo (0 < p < 1), entonces la variable tipificada
Z = (X − np) / √(npq) ⟶ N(0, 1)
converge en distribución a la normal estándar. Es un caso particular del Teorema Central del Límite aplicado a sumas de Bernoulli i.i.d.
¿Cuándo se puede aproximar?
- Regla práctica: n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5 (algunos libros piden ≥ 10).
- Cuanto más simétrica la binomial (p ≈ 0.5), mejor el ajuste.
- Si p es muy pequeño y n grande, mejor Poisson (λ = np).
Corrección de continuidad (Yates, 1934)
La binomial es discreta (sólo toma valores enteros) pero la normal es continua: P(X = k) en la normal es 0. Para corregir esa diferencia, cada barra de la binomial centrada en k se "ensancha" al intervalo [k − 0.5, k + 0.5]:
P(X = k) ≈ Φ((k + 0.5 − μ)/σ) − Φ((k − 0.5 − μ)/σ)
P(X ≤ k) ≈ Φ((k + 0.5 − μ)/σ)
P(X < k) ≈ Φ((k − 0.5 − μ)/σ)
P(X ≥ k) ≈ 1 − Φ((k − 0.5 − μ)/σ)
P(X > k) ≈ 1 − Φ((k + 0.5 − μ)/σ)
P(a ≤ X ≤ b) ≈ Φ((b + 0.5 − μ)/σ) − Φ((a − 0.5 − μ)/σ)
Los 6 casos visualizados (μ = 10, σ ≈ 2.24, k = 11, k₂ = 13)
Observa cómo en cada caso la zona rosa de Yates "rellena" exactamente las barras incluidas (naranjas), evitando el error que cometeríamos al integrar la normal sólo desde el entero (sin el ±0.5).
¿Por qué se llama "corrección de Yates"?
Frank Yates la propuso en 1934 al estudiar el test χ² de independencia con frecuencias pequeñas: notó que tratar valores discretos como continuos sobrestimaba la significación. Aquí aplicamos la misma idea: "medio paso" a cada lado del entero para "rellenar" la discontinuidad.
Diagrama de Árbol
Define etiqueta, probabilidad y número de ramas por nivel. P(hoja) = producto de todas las ramas del camino.
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Nivel 4
Nivel 5
Haz clic en una hoja del Árbol (o en su fila) para seleccionarla y sumar su probabilidad.
P(suceso seleccionado) = suma de hojas marcadas
| Camino | P(hoja) | P(%) | |
|---|---|---|---|
Suma P(hojas) =
Teoría · Probabilidad condicionada y diagramas de Árbol
Probabilidad condicionada
$P(B\mid A)$ = "prob. de $B$ sabiendo que $A$ ha ocurrido". Restringe el espacio muestral a $A$.
Regla del producto (cadena)
Dentro de una misma rama del Árbol → se multiplican las probabilidades a lo largo del camino. Entre ramas distintas (caminos diferentes que llevan al mismo suceso) → se suman. Generalización a $k$ etapas:
Probabilidad total
Si $\{A_1,\ldots,A_n\}$ es una partición del espacio muestral $(A_i\cap A_j=\varnothing,\;\bigcup A_i = \Omega)$:
En el Árbol: sumar las probabilidades de todas las hojas que llevan a $B$.
Teorema de Bayes
Sirve para "ir hacia atrás": una vez observado $B$, ¿cuál era la causa $A_k$ más probable? El Árbol invertido.
Reglas para construir un Árbol
- Cada nivel representa una etapa del experimento (extracción, test, etc.).
- Las ramas que salen de un mismo nodo deben sumar $1$.
- Multiplicar por el camino para $P(\text{hoja})$, sumar hojas para $P(\text{suceso})$.
- Si las etapas son independientes: $P(B\mid A) = P(B)$ y los pesos no cambian.
Diagramas de Venn y Álgebra de sucesos
Introduce P(A), P(B) y P(A∩B) para calcular todas las relaciones entre sucesos y ver el diagrama.
Haz clic en una tarjeta para resaltar esa región en el diagrama.
P(A)
Probabilidad de A
P(B)
Probabilidad de B
P(A∩B)
Intersección
P(A∪B)
= P(A)+P(B)−P(A∩B)
P(solo A) = P(A∩Bᶜ)
A pero no B = P(A)−P(A∩B) ≠ P(A)
P(solo B) = P(Aᶜ∩B)
B pero no A = P(B)−P(A∩B) ≠ P(B)
P(exactamente 1) — solo uno
= P(solo A) + P(solo B) = P(A∪B) − P(A∩B)
P(Aᶜ) — no A
= 1 − P(A)
P(Bᶜ) — no B
= 1 − P(B)
P(Aᶜ∩Bᶜ) — ni A ni B
= 1 − P(A∪B)
P(A|B)
= P(A∩B) / P(B)
P(B|A)
= P(A∩B) / P(A)
¿Son A y B independientes?
ver en diagramaP(A∩B) = P(A)·P(B) ↔
¿Son A y B mutuamente excluyentes?
ver en diagramaP(A∩B) = 0 → no pueden ocurrir a la vez
Álgebra de sucesos — 3 eventos
A, B y CIntroduce las probabilidades de cada suceso y sus intersecciones. El diagrama de Venn muestra las 8 regiones automáticamente.
P(A∪B∪C)
P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC)
P(A∩B∩Cᶜ)
= P(A∩B) − P(A∩B∩C)
P(ninguno)
= 1 − P(A∪B∪C)
P(A∩B∩C)
triple intersección
P(Aᶜ) — no A
= 1 − P(A)
P(Bᶜ) — no B
= 1 − P(B)
P(Cᶜ) — no C
= 1 − P(C)
P(exactamente 1)
solo A + solo B + solo C
P(exactamente 2)
AB∩Cᶜ + AC∩Bᶜ + BC∩Aᶜ
P(al menos 1)
= P(A∪B∪C)
Principio de inclusión-exclusión (3 sucesos)
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A∩B) − P(A∩C) − P(B∩C) + P(A∩B∩C)
= + + − − − + =
Teoría · Álgebra de sucesos y axiomas de Kolmogórov
Axiomas de Kolmogórov
- $\;P(A) \geq 0\;$ para todo suceso $A$.
- $\;P(\Omega) = 1$.
- Si $A \cap B = \varnothing$, entonces $\;P(A\cup B) = P(A) + P(B)$.
Operaciones con sucesos
- Unión $A \cup B$: ocurre $A$, $B$ o ambos.
- Intersección $A \cap B$: ocurren $A$ y $B$ simultáneamente.
- Complementario $\overline{A}$: $\;P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
- Diferencia $A \setminus B = A \cap \overline{B}$: $\;P(A) - P(A\cap B)$.
- Sucesos incompatibles: $A\cap B = \varnothing$.
- Sucesos independientes: $\;P(A\cap B) = P(A)\,P(B)$.
Inclusión–exclusión
Leyes de De Morgan
"No ocurre ninguno" $=$ "no ocurre $A$ y no ocurre $B$".
Regla de Laplace
Sólo válida cuando todos los sucesos elementales son equiprobables.
Intervalos de confianza
z crítico
t crítico (gl=n−1)
Fórmula usada
IC para μ
[ , ]
E =
¿Cuándo usar t de Student?
• σ poblacional desconocida Y n < 30
• Para n ≥ 30, la t converge a la z (diferencia despreciable)
• La t tiene colas más anchas → IC más conservador
Estima una proporción poblacional a partir de una muestra. Fórmula: p̂ ± z√(p̂(1−p̂)/n).
z crítico
Desglose del cálculo
Condición: np̂ ≥ 5 y n(1−p̂) ≥ 5
IC para p
[ , ]
p̂ = | E =
¿Qué significa este IC?
Con un de confianza, la proporción real de la población se encuentra entre los dos extremos calculados.
El margen de error E mide la precisión: a mayor n, menor E y mayor precisión.
Teoría · Intervalos de confianza y muestreo
Distribución muestral
Si extraemos muestras de tamaño $n$ de una población $\mathcal{N}(\mu,\sigma)$:
Por el Teorema Central del Límite, esto vale aproximadamente para cualquier población si $n$ es suficientemente grande ($n\geq 30$).
IC para la media (con $\sigma$ conocida)
- $1-\alpha$ es el nivel de confianza (90%, 95%, 99%, …).
- $z_{\alpha/2}$ es el valor crítico de la $\mathcal{N}(0,1)$: $z_{0{,}025}=1{,}96$, $z_{0{,}005}=2{,}576$.
- Error máximo: $E = z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
IC para una proporción
Para $n$ grande con $n\hat p \geq 5$ y $n(1-\hat p)\geq 5$:
Tamaño muestral mínimo
Para que el error no supere un valor $E_0$ con confianza $1-\alpha$:
Para la media
$$n \;\geq\; \left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E_0}\right)^{2}$$Para una proporción
$$n \;\geq\; \left(\dfrac{z_{\alpha/2}}{E_0}\right)^{2}\hat p\,(1-\hat p)$$Si no se conoce $\hat p$, se toma el peor caso $\hat p = 0{,}5$ (máxima incertidumbre).
Interpretación correcta
- $1-\alpha$ es la probabilidad de que el procedimiento produzca un intervalo que contenga al parámetro.
- NO dice que "$\mu$ está dentro con prob. $1-\alpha$": una vez calculado, $\mu$ está dentro o no.
- A más confianza ⇒ intervalo más ancho. A más $n$ ⇒ intervalo más estrecho.
Teoría de Probabilidad y Estadística
Conceptos, fórmulas y ejemplos resueltos de todos los bloques
Combinatoria — factorial, variaciones, combinaciones
La combinatoria cuenta el número de formas de seleccionar o ordenar elementos. Hay cuatro operaciones básicas según si importa el orden y si se repiten los elementos.
Factorial $n!$
Número de formas de ordenar n objetos distintos en fila.
$n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \qquad 0! = 1$
Ejemplo: ¿de cuántas formas pueden sentarse 4 personas en 4 sillas? $4! = 24$
Variaciones $V_n^r$
Seleccionar r elementos de n y ordenarlos. El orden importa, sin repetición.
$V_n^r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$
Ejemplo: podio de 3 de 10 corredores → $V_{10}^3 = \frac{10!}{7!} = 720$
Combinaciones $C_n^r$
Seleccionar r de n. El orden NO importa, sin repetición.
$\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
Ejemplo: elegir 3 de 10 personas para un comité → $\binom{10}{3} = 120$
Variaciones con repetición $VR_n^r$
Seleccionar r de n. El orden importa, con repetición permitida.
$VR_n^r = n^r$
Ejemplo: PINs de 4 dígitos (0-9) → $VR_{10}^4 = 10^4 = 10\,000$
Tabla resumen — ¿qué usar cuándo?
¿Importa el orden?
No → Combinaciones
¿Orden sí, sin rep.?
Variaciones $V_n^r$
¿Orden sí, con rep.?
$VR_n^r = n^r$
Probabilidad clásica — espacio muestral, sucesos, axiomas
La probabilidad mide qué tan probable es que ocurra un evento. La Regla de Laplace asume equiprobabilidad: todos los resultados tienen la misma probabilidad.
Definición de Laplace
$P(A) = \dfrac{\#\text{ casos favorables}}{\#\text{ casos totales}}$
Ejemplo: sacar un 4 al tirar un dado → $P(4) = \frac{1}{6}$
Sacar corazón de una baraja → $P(\heartsuit) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$
Axiomas de Kolmogorov
- • $0 \leq P(A) \leq 1$ siempre
- • $P(\Omega) = 1$ (el espacio muestral es seguro)
- • Si $A \cap B = \emptyset$: $P(A\cup B) = P(A)+P(B)$
De los axiomas se derivan el complementario $P(A^c)=1-P(A)$ y la adición general.
Álgebra de sucesos y fórmulas de adición
Unión (A o B):
$P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
Complementario:
$P(A^c) = 1 - P(A)$
Mutuamente excluyentes:
$P(A\cap B)=0 \Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
Ejemplo con baraja (52 cartas)
Sea A = "sacar un as" y B = "sacar corazón". $P(A)=\frac{4}{52}$, $P(B)=\frac{13}{52}$, $P(A\cap B)=\frac{1}{52}$
$P(A\cup B) = \frac{4}{52}+\frac{13}{52}-\frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13} \approx 0.308$
Probabilidad condicionada, independencia y Bayes
La probabilidad condicionada $P(A|B)$ mide la probabilidad de A sabiendo que ya ocurrió B. Si A y B son independientes, que ocurra B no aporta información sobre A.
Probabilidad condicionada
$P(A|B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$
Regla del producto: $P(A\cap B) = P(A|B)\cdot P(B) = P(B|A)\cdot P(A)$
Ejemplo: de 100 personas, 40 usan gafas y 10 de ellas son zurdas. $P(\text{zurdo}|\text{gafas}) = 10/40 = 0.25$
Sucesos independientes
$A \perp B \iff P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)$
Equivalentemente: $P(A|B) = P(A)$ — saber que B ocurrió no cambia la prob. de A.
Ejemplo: lanzar dos monedas. $P(\text{cara}_1 \cap \text{cara}_2) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ ✓ independientes.
Teorema de la probabilidad total y Bayes
Si $A_1,\ldots,A_k$ forman una partición de $\Omega$:
$P(B) = \sum_{i=1}^{k} P(B|A_i)\cdot P(A_i)$
Teorema de Bayes — "actualizar" la prob. a posteriori:
$P(A_i|B) = \dfrac{P(B|A_i)\cdot P(A_i)}{P(B)}$
Ejemplo Bayes — prueba médica
Enfermedad: prevalencia $P(E) = 0.01$. Test: $P(+|E) = 0.95$ (sensibilidad), $P(+|E^c) = 0.05$ (tasa falsos positivos).
$P(+) = 0.95 \times 0.01 + 0.05 \times 0.99 = 0.0095 + 0.0495 = 0.059$
$P(E|+) = \dfrac{0.95 \times 0.01}{0.059} \approx 0.161$ — ¡solo el 16%! Un test positivo no es diagnóstico definitivo si la enfermedad es rara.
Distribución Binomial $B(n,p)$ — Éxitos en n ensayos
La binomial modela el número de Éxitos en $n$ ensayos independientes donde cada uno tiene probabilidad de Éxito $p$ fija. Se llama experimento de Bernoulli.
Condiciones de uso
- • Número de ensayos n fijo
- • Cada ensayo: Éxito (p) o fracaso (1−p)
- • Los ensayos son independientes
- • p es constante en todos los ensayos
Ejemplos: monedas lanzadas, defectos en producción, preguntas de test de verdadero/falso
Fórmulas clave
$P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$
Media: $\mu = np$ · Varianza: $\sigma^2 = npq$ · $q = 1-p$
Moda: valor(es) de k donde $P(X=k)$ es máximo.
Aproximación a la Normal (Moivre-Laplace)
Cuando $np \geq 5$ y $nq \geq 5$, se puede usar $X \approx N(np, \sqrt{npq})$. Con corrección de continuidad de Yates: $P(X \leq k) \approx P\!\left(Z \leq \frac{k+0.5-\mu}{\sigma}\right)$
La corrección ±0.5 compensa el paso de discreta a continua y mejora la precisión.
Ejemplo resuelto — control de calidad
Una máquina produce piezas con 4% de defectos. En un lote de 50 piezas, ¿P(exactamente 2 defectuosas)?
$X \sim B(50, 0.04)$. $P(X=2) = \binom{50}{2}(0.04)^2(0.96)^{48} = 1225 \times 0.0016 \times 0.1392 \approx 0.277$
Media: $\mu = 50 \times 0.04 = 2$ defectuosas. $P(X \leq 4)$ usando tabla o software.
Distribución Normal $N(\mu, \sigma)$ — la campana de Gauss
La distribución normal es la más importante en estadística. Aparece naturalmente como límite de sumas de muchas variables aleatorias (Teorema Central del Límite). Es simétrica, continua y definida por solo dos parámetros: $\mu$ y $\sigma$.
Función de densidad
$f(x) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
• Simétrica en $x = \mu$ · Media = Mediana = Moda = μ
• Los puntos de inflexión están en $\mu \pm \sigma$
• El Área total bajo la curva = 1
Tipificación
$Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$
Para calcular probabilidades se tipifica y se consulta la tabla Z. $\Phi(z) = P(Z < z)$
$P(X < x) = \Phi\!\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)$
Regla empírica 68-95-99.7
$\mu \pm \sigma$
68%
de los datos
$\mu \pm 2\sigma$
95%
de los datos
$\mu \pm 3\sigma$
99.7%
de los datos
Los 6 casos de probabilidad con la tabla Z
Ejemplo — notas de un examen $N(65, 12)$
¿Qué porcentaje saca más de 80? $z = (80-65)/12 = 1.25$ → $P(Z > 1.25) = 1 - \Phi(1.25) = 1 - 0.8944 = 0.1056$ → 10.6%
¿Entre 50 y 80? $z_1 = (50-65)/12 = -1.25$ → $P(-1.25 < Z < 1.25) = 0.8944 - 0.1056 = 0.7888$ → 78.9%
Diagramas de Árbol — probabilidad compuesta y Bayes
Un diagrama de Árbol organiza visualmente experimentos en varias etapas. Cada nodo ramifica hacia los posibles resultados de esa etapa. La probabilidad de una hoja (camino completo) es el producto de todas las probabilidades del camino.
Regla del producto (rama a rama)
$P(\text{hoja}) = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_k$
donde $p_i$ es la probabilidad de cada bifurcación del camino.
Verificación: la suma de todas las hojas debe dar 1.
Bayes con Árbol
Para calcular $P(A_i | B)$, primero se construye el Árbol con las probabilidades previas y condicionales. La probabilidad a posteriori es:
$P(A_i|B) = \dfrac{\text{rama que lleva a }B\text{ por }A_i}{\text{suma de ramas que llegan a }B}$
Ejemplo con Árbol — urnas
Urna 1: 3R, 2B. Urna 2: 1R, 4B. Se elige una urna al azar y se extrae una bola. ¿P(urna 1 | bola roja)?
$\frac{1}{2} \to U_1 \to R$: $\frac{1}{2}\times\frac{3}{5} = \frac{3}{10}$
$\frac{1}{2} \to U_1 \to B$: $\frac{1}{2}\times\frac{2}{5} = \frac{2}{10}$
$\frac{1}{2} \to U_2 \to R$: $\frac{1}{2}\times\frac{1}{5} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{2} \to U_2 \to B$: $\frac{1}{2}\times\frac{4}{5} = \frac{4}{10}$
$P(R) = \frac{3}{10}+\frac{1}{10} = \frac{4}{10}$
$P(U_1|R) = \dfrac{3/10}{4/10} = \dfrac{3}{4} = 0.75$
Diagramas de Venn y Álgebra de sucesos
Los diagramas de Venn visualizan las relaciones entre conjuntos. El espacio muestral Ω es el rectángulo exterior; cada evento es un círculo dentro.
Operaciones básicas
Intersección: $A \cap B$ — ocurren ambos
Unión: $A \cup B$ — ocurre al menos uno
Complementario: $A^c$ — no ocurre A
Diferencia: $A \setminus B = A \cap B^c$ — A sin B
Probabilidades derivadas
$P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
$P(A \setminus B) = P(A) - P(A\cap B)$
$P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A\cup B)$
$P(A|B) = P(A\cap B)/P(B)$
Leyes de De Morgan
$(A\cup B)^c = A^c \cap B^c$
$(A\cap B)^c = A^c \cup B^c$
El complementario de una unión es la intersección de los complementarios y viceversa.
Ejemplo — encuesta a 200 personas
80 leen el periódico (A), 60 ven noticias (B), 30 hacen ambas. Buscar: P(solo A), P(ninguna), P(A|B).
$P(A)=80/200=0.4$, $P(B)=0.3$, $P(A\cap B)=30/200=0.15$
Solo A: $P(A\setminus B)=0.4-0.15=0.25$ · Solo B: $0.3-0.15=0.15$
Ninguna: $1-P(A\cup B)=1-(0.4+0.3-0.15)=0.45$ · $P(A|B)=0.15/0.3=0.5$
Intervalos de confianza — estimación de parámetros
Un intervalo de confianza (IC) al $(1-\alpha)$% da un rango donde, con esa probabilidad, se encuentra el parámetro poblacional. No es que el parámetro esté en ese intervalo con un 95% de prob. — el parámetro es fijo; es el intervalo el que varía de muestra en muestra.
IC para la media μ — normal (z)
$\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
Usar cuando: σ conocida, o n ≥ 30 (TCL garantiza normalidad)
90%
z=1.645
95%
z=1.960
99%
z=2.576
IC para la media μ — t de Student
$\bar{x} \pm t_{\alpha/2,\,n-1}\dfrac{s}{\sqrt{n}}$
Usar cuando: σ desconocida Y n < 30. Los grados de libertad son gl = n−1.
La t tiene colas más pesadas → IC más ancho → más conservador → más seguro.
Margen de error E y tamaño muestral
$E = z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
IC = $[\bar{x}-E,\; \bar{x}+E]$. Amplitud total = 2E.
Para garantizar $E \leq E_0$, se necesita:
$n \geq \left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E_0}\right)^2$
Ejemplo resuelto — IC al 95%
Muestra de n=25 alumnos, $\bar{x}=7.2$ puntos, $s=1.4$. σ desconocida → usar t con gl=24.
$t_{0.025,24} = 2.064$ (tabla o software)
$E = 2.064 \times \dfrac{1.4}{\sqrt{25}} = 2.064 \times 0.28 = 0.578$
IC 95%: $[7.2 - 0.578;\; 7.2 + 0.578] = [6.62;\; 7.78]$
Interpretación: si repitiéramos el muestreo muchas veces, el 95% de los ICs así construidos contendrían la media real μ.
Otras distribuciones — Poisson, geométrica, uniforme
Poisson $P(\lambda)$
$P(X=k)=\dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$
$\mu = \sigma^2 = \lambda$
Uso: contar eventos raros en tiempo/espacio fijo. Límite de B(n,p) cuando n→∞, p→0, np=λ.
Ej: llamadas en central telefónica, partículas emitidas en 1s.
Geométrica $G(p)$
$P(X=k) = p(1-p)^{k-1}$
$\mu = 1/p$ · $\sigma^2 = q/p^2$
Uso: número de ensayos hasta el primer Éxito. Sin memoria (el pasado no influye).
Ej: ¿cuántos intentos hasta meter una canasta con p=0.6?
Uniforme $U[a,b]$
$f(x)=\dfrac{1}{b-a}$, $x\in[a,b]$
$\mu = \dfrac{a+b}{2}$ · $\sigma^2 = \dfrac{(b-a)^2}{12}$
Todos los puntos del intervalo son equiprobables. El Área = probabilidad.
Ej: tiempo de espera de un autobús que pasa cada 10 min.
Relaciones entre distribuciones
$B(n,p) \xrightarrow{np\geq5} N(np, \sqrt{npq})$ — aproximación normal
$B(n,p) \xrightarrow{n\to\infty,\,np=\lambda} P(\lambda)$ — aproximación Poisson
$t_\nu \xrightarrow{\nu\to\infty} N(0,1)$ — t converge a Z
$\chi^2_\nu = $ suma de $\nu$ normales estándar al cuadrado